家賃の支払い時期はいつから？

家賃の発生は契約日からとなります。

ただし、入居出来そうなのが月末からだとしても、月末まで契約を待ってもらえるとは限りません。契約日は、貸主との協議にて決定されるので、自分の希望日を伝えて話し合う必要が有ります。

また、最初の家賃はほとんどの場合、日割り計算されます。

通常、家賃の支払いとは契約日から発生します。ですから、賃貸を契約した際に始めて支払う家賃の時期とは、ご契約時です。
また、初回に支払う家賃とは、家賃を日割りで計算されて請求されることが多いです。ですから、入居する家賃を日割り計算で支払うことができるかどうかは、できることが多いと言えます。

ただし、これはあくまで一般的な回答です。家賃の支払い開始日や初回に支払う家賃などは物件毎に異なりますし、貸主である大家さんの判断にもよります。また、これらのことは契約書に記載されております。契約締結後に、その事項を覆すことは非常に難しいことです。
ですから、契約前にしっかり確認して希望があるのであれば、質問なり、交渉なりして頂きたいと思います。