備え付けエアコンが故障してしまい・・・。

一般的に、備え付けの設備は貸主に修繕義務が有ります。
管理会社を通じて、貸主へ修繕依頼を行うのが自然な流れと言えます。
対応や反応が悪いのは、貸主もしくは管理会社の怠慢と言えるでしょう。

ご質問にもあるとおり、大家さんに修理する義務があるため、大家さんや管理会社が対応すべきことです。不動産屋へ連絡しても思うような反応が無い場合は、大家さんや管理会社に直接連絡をして対応を依頼して下さい。

説明を付け加えますと、お部屋を契約した際、「エアコンあり」ということで入居を決めた物件であれば、貸主である大家さんに修理をする義務があります。なぜなら、入居者はそのエアコンが使えることにより、快適に過ごせるということを期待し、その家賃に納得して入居を決めたのです。従って、入居者が故意に壊したり、メンテナンスを怠ったりした場合を除いて、修理費用（代替のものを用意する費用）は大家さんが負担すべきです。

補足として、エアコンに限らず室内の設備が故障、破損してしまった場合は、必ず、大家さんや管理会社に報告をして下さい。自分の判断で修理したり、設備を入れ替えたりしてしまうと、退去時に元に戻せと高額な請求をされることも想定されます。
また、ここでの回答は、エアコンがお部屋の設備として契約書に記載されている場合を想定しています。仮に、そのエアコンが前の入居者が設置して残していったもの（残置物）であった場合には、大家さんは、その設備を提供することを前提にお部屋を貸している訳ではありません。ですから、大家さんには修理する義務が無く、入居者が自分自身で修理をするなど対応しなければならないのです。