水周りトラブル、工事費を払うのは誰？

まず、修理工事を自分で行ってはいけません。必ず、管理会社で行ってもらうか、管理会社の了承を得たうえで行う事としてください。
そして修理代金を誰が負担するのかですが、その故障を発生させた原因が借主に有る場合に限り、借主の負担となります。
つまり、自然に発生した場合や、老朽化による故障の場合は貸主が負担するという事です。

ともかく、症状が悪化しないように、出来るだけ早く管理会社へ相談してみてください。

誰が工事費を支払うのかは、トイレの流れが悪くなった原因が借主側にあるのかによります。
仮に、通常の使用による損耗（＝自然損耗）で故障した場合には、家主（＝管理会社）が工事費を支払うこととなります。
逆に、日常の手入れ不足や誤った使用により故障した場合は、借主側で支払うこととなります。
管理会社に請求してもいいものなのかどうかに関しては、適切な対応をした後の行動であれば問題はありません。
設備に故障が発生した際の借主の適切な対応とは、まず家主や管理会社に連絡をして、どのように対処すべきか指示を得てから行動を起こすということです。
なぜなら、それをせずに借主が自らの判断で修理を依頼してしまうと、貸主である家主や管理会社は、本当のところの故障原因を確認することが出来なくなり、どちらが工事費を支払うかなど、トラブルに発展することがあり得るからです。