更新の時期が過ぎてしまいました。

「更新」と仰る以上は普通賃貸借だと考えられますが、そうであれば特段気にする必要はありません。元々「自動更新」する旨の規定があり手続きを要しないだけかもしれませんし、更新手続きが必要な場合であっても「法定更新」として以前の条件のまま更新されたものと見なされます。大家さんなり管理会社なりが手続きを忘れているだけかとは思いますが、期日満了で突然住めなくなることはまずありませんのでご安心下さい。
ただ、ご注意頂きたいのは「１年未満の定期借家契約」で部屋を借りていた場合です。この場合は更新ではなく再契約を行う形になりますが、取り立てて通知等もないまま期日満了でそのまま契約終了となることも十分考えられます。そうならないためにも念のため契約書を確認されては如何でしょうか。