共用部分の電気が消えたままだったことで怪我をしました。

請求は可能ですが、治療費全額を取り戻すことは難しいかと存じます。
共用部の照明を切れたまま１ヶ月以上放置していたことは大家さんの落ち度ですので、大家さんはその点について債務不履行責任を負うと考えられます（民法４１５条）。もっとも階段の照明が切れていたからといって全ての人が足を踏み外して骨折するわけではありません。足下が確認しづらいのであればその分注意して歩くべきだったのでは等、相手側にも反論の余地はあります。そういったあなたの「落ち度」と見なされる部分は請求から差し引かれますので（同法４１８条）全額まるまるというのは難しいでしょう。
なお話し合いで解決すればそれが一番なのですが、万が一裁判となると時間も費用も途端に膨らんでしまいます。また大家さんの心象を著しく害する可能性もあります。怪我をされてご立腹なのは重々承知しておりますが、よく考えて行動を起こされるのが賢明かと存じます。